Оценка точности характеристик, полученных методом Монте-Карло

Оценка точности результатов, полученных методом Монте-Карло основана на предельных теоремах теории вероятностей. Они утверждают, что при большом числе отчетов частота события приближается к его вероятности, а среднее арифметическое полученных значений случайной величины к ее математическому ожиданию. Используя метод М-К можно провести большое число опытов или реализаций случайной величины и с заданной точностью найти оценки искомых величин. Поэтому при расчетах методом М-К возникает вопрос оценки точности полученных результатов. При анализе точности расчетов мы будем использовать центральную предельную теорему. Согласно этой теореме при большом числе опытов N выборное среднее распределяется приближенно по нормальному закону.

Закон распределения частоты события при большом числе опытов

Пусть производится большое число N независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p. Введем случайную величину

Оценка частоты события А

Величина

распределяется примерно по нормальному закону с математическим ожиданием

и среднеквадратическим отклонением

Непрерывная случайная величина

Если случайная величина X является непрерывной, то оценки среднего

где

-выборные данные.
Оценка (2) – гауссовская случайная величина со средним

среднеквадратическим отклонением.
На основе приведенных результатов решим два примера о точности метода Монте-Карло.
Пример 1:Проведено N опытов, в каждом из которых событие A появляется с некоторой неизвестной вероятностью p. В результате этих опытов получена оценка

. Найти вероятность, что

отличается от вероятности p не больше, чем заданную величину

.
Т.к. оценка

, определяется выражением (1), является гауссовской СВ, то

Здесь

- функция Лапласса. Как пользоваться формулой (3), если вероятность p нам неизвестна и мы ее находим. В выражение (3) вместо p можно поставить

. Задавая достаточно большую вероятность, например 0.95, 0.98, можно найти необходимое значение N для достижения необходимой точности.
Пример 2: Проведено N независимых опытов, в каждом из которых наблюдается значение СВ x. Вычисляется оценка среднего арифметического СВ по формуле (2). Найти вероятность того, что оценка

отклоняется от математического ожидания

на заданную величину

. Так же как и в предыдущем примере

Если

неизвестна, то вместо нее можно использовать соответствующую оценку

Обычно на примере для определения точности оценок используем величину относительной средней ошибки

, которая уменьшается с ростом N как

Моделирование систем массового обслуживания

Рассмотрим теперь пример, связанный с моделированием методом М-К немарковской системы массового обслуживания.

Имеется одноканальная(n = 1) СМО с очередью. Число мест в очереди m = 1. Поток заявок - пальмовский, т.е. интервалы времени между заявками представляют собой независимые случайные величины с точностью вероятности f(x) (не экспоненциальный, рис. 1). Время обслуживания одной заявки - случайная величина с плотностью вероятности

(рис. 2).

Требуется, моделируя работу СМО методом М-К и располагая только одной длинной реализацией определить:
- вероятности состояний(вероятности того, что будет занято 0 или 1 канал);
- среднее время ожидания в очереди, дисперсией времени ожидания;
- вероятность отказа.
Решение. Граф состояний системы показан на рис. 3.

Рис. 3
Будем считать, что в начальный момент времени система находится в состоянии

. Определим моменты времени

прихода заявок. Для этого построим функцию распределения

и используя метод обратной функции разыграем

Рис. 4
На второй оси (рис. 4) будем изображать состояние канала(жирная черта "занято", тонкая "свободно"). На второй оси будем изображать состояние места в очереди.
Заявка пришедшая в момент

занимает канал. Время ее обслуживания

разыгрывается с помощью метода обратных функций. Вторая заявка становится в очередь и после освобождения канала занимает его. Третья заявка занимает место в очереди, а четвертая покидает СМО.
Предположим, что мы имеем большую реализацию длиной