Основы анализа на чувствительность .

Анализ моделей на чувствительность проводится после получения оптимального решение задачи.
В рамках такого анализа выявляется чувствительность оптимального решения к определенным изменениям исходной модели. В задаче о производстве красок, например, может представить интерес вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение увеличение и уменьшение спроса или изменения запасов исходных продуктов. Можно проанализировать влияние на оптимальное решение изменения рыночных цен.

При таком анализе рассматривается некоторая совокупность оптимизационных моделей. Это придает модели определенную динамичность, позволяющую провести анализ влияния возможных изменений исходных условий на полученное оптимальное решение.
Динамические характеристики модели фактически отображают аналогичные характеристики, свойственные реальным процессам. Отсутствие анализа, позволяющего выявить влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное решение, может привести к тому, что полученное статическое решение устареет еще до своей реализации.

Для проведения анализа модели на чувствительность будем использовать графический метод.

Первая задача анализа на чувствительность.
На сколько можно сократить или увеличить запасы ресурсов?

После нахождения оптимального решения представляется вполне логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов ресурсов. Особенно важно проанализировать следующие два аспекта.

На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции z?
На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции?

Так как величина запаса каждого из ресурсов фиксируется в правых частях ограничений, этот вид анализа обычно идентифицируется как анализ модели на чувствительность к правой части (ограничений).
Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифицируем ограничения линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные) ограничения. Прямая, представляющая связывающее ограничение, должна проходить через оптимальную точку. В противном случае соответствующее ограничение будет не связывающим. На рис. 1 связывающими ограничениями являются только ограничения (1) и (2), которые лимитируют запасы исходных продуктов (ресурсов) А и В.

Если некоторое ограничение является связывающим, логично отнести соответствующий ресурс к разряду дефицитных ресурсов , так как он используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором избытке).
Таким образом, при анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяются:

предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение
предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптимального значения целевой функции.

Информация, полученная в последнем случае, особенно полезна в тех ситуациях, когда излишки недефицитного ресурса могут быть использованы для других целей.
Отметим, что увеличение избыточного ресурса не скажется на оптимальном решении (избыточный ресурс станет еще более избыточным). Очевидно, что сокращение дефицитного ресурса не улучшит значения целевой функции.

Вернемся к примеру о производстве красок. В рассмотренном примере используемые продукты А и В (ограничения (1) и (2)) являются дефицитными ресурсами. Рассмотрим сначала ресурс А. Из рис. 6 видно, что при увеличении запаса этого ресурса прямая (1) (или отрезок CD) перемещается вверх параллельно самой себе, постепенно "стягивая" в точку треугольник CDK. (Стороны СК и DK этого треугольника представляют собой продолжения прямых, соответствующих ограничениям (2) и (4).)
Рис. 6.
В точке К ограничения (2) и (4) становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений становится многоугольник ABKEF. В точке К ограничение (1) (для ресурса А) становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение.
Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение (1) становится избыточным, т. е. прямая (1) проходит через новую оптимальную точку К. Этот предельный уровень определяется следующим образом. Сначала нужно найти координаты точки К, в которой пересекаются прямые (2) и (4),

Рис. 7.

т. е. находится решение системы уравнений

В результате получается хE=3 и xI=2. Затем путем подстановки координат точки К в левую часть ограничения (1) определяется максимально допустимый запас ресурса А: т. При этом Рис. 7 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос о целесообразности увеличения запаса дефицитного ресурса (2) (исходного продукта В).
Новой оптимальной точкой становится точка J, где пересекаются прямые (6) и (1), т. е. xI=0 и Отсюда следует, что xE=6, xI=0 причем запас продукта В можно увеличить до значения, равного т. При этом Рассмотрим теперь вопрос об уменьшении правой части не связывающих ограничений. Ограничение (4), хI=2, фиксирует предельный уровень спроса на краску I. Из рис. 2 следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую (4) (ED) можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой С. точка С имеет координаты уменьшение спроса, на краску I до величины никак не повлияет на оптимальность ранее полученного решения. Рассмотрим ограничение (3), которое представляет соотношение между спросом на краску I и спросом на краску Е. И в этом случае правую часть ограничения можно уменьшать до тех пор, пока прямая (3) (EF) не достигнет точки С. При этом правая часть ограничения (3) станет равной что позволяет записать это ограничение в виде или в эквивалентной форме: . Этот результат показывает, что ранее полученное оптимальное решение не изменится, если спрос на краску Е превысит спрос на краску I не более чем на 2т.

Результаты проведенного анализа можно свести в следующую таблицу.
Вторая задача анализа на чувствительность.
Увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно?
В первой задаче анализа на чувствительность мы исследовали влияние на оптимум увеличения объема дефицитных ресурсов (т. е., изменения связывающих ограничений). При ограничениях на затраты, связанные с дополнительным привлечением ресурсов, естественно задать вопрос: какому из ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств? С помощью методов линейного программирования удается ответить и на такой вопрос.
Для этого вводится характеристика ценности каждой дополнительной единицы дефицитного ресурса, выражаемая через соответствующее приращение оптимального значения целевой функции. Такую характеристику для рассматриваемого примера можно получить непосредственно из таблицы, в которой приведены результаты решения первой задачи анализа на чувствительность.

Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i через yi Величина yi, определяется из соотношения

Воспользовавшись данными указанной таблицы, для ограничения (1) (продукт А) получим
Аналогичным образом можно определить ценность единицы каждого из ресурсов и представить результаты в следующей таблице:Аналогичным образом можно определить ценность единицы каждого из ресурсов и представить результаты в следующей таблице:
Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополнительные вложения в первую очередь следует направить на увеличение ресурса 2 (продукт В) и лишь затем-на увеличение ресурса 1 (продукт А). Что касается недефицитных ресурсов, то, как и следовало ожидать, их объем увеличивать не следует.

Третья задача анализа на чувствительность.
В каких пределах допустимо изменение коэффициентов целевой функции?
Изменение коэффициентов целевой функции, которые определяются ценами на готовую продукцию, оказывает влияние на наклон прямой, которая представляет эту функцию в принятой системе координат. Очевидно, что идентификация конкретной угловой точки в качестве оптимума зависит прежде всего от наклона этой прямой.
Это означает, что вариация коэффициентов целевой функции может привести к изменению совокупности связывающих ограничений и, следовательно, статуса того или иного ресурса (т. е. сделать недефицитный ресурс дефицитным, и наоборот). Таким образом, в рамках анализа модели на чувствительность к изменениям коэффициентов целевой функции могут исследоваться следующие вопросы.
Рис. 8.

Каков диапазон изменения (увеличения или уменьшения) того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения?

Насколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы сделать некоторый недефицитный ресурс дефицитным и, наоборот, дефицитный ресурс сделать недефицитным?

Обсудим эти вопросы на нашем примере.
Рассматривая первый вопрос, обозначим через сE и cI доходы фирмы от продажи 1 т краски Е и 1 т краски I соответственно. Тогда целевую функцию можно представить в следующем виде:
Из рис. 8 видно, что при увеличении сE или уменьшении cI прямая, представляющая целевую функцию z, вращается (вокруг точки С) по часовой стрелке.
Если же сE уменьшается или cI увеличивается, эта прямая вращается в противоположном направлении - против часовой стрелки. Таким образом, точка С будет оставаться оптимальной точкой до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за пределы, определяемые наклонами прямых, соответствующих ограничениям (1) и (2).
Когда наклон прямой z станет равным наклону прямой для ограничения (1), получим две альтернативные оптимальные угловые точки С и D. Аналогично, если наклон прямой z станет равным наклону прямой для ограничения (2), будем иметь альтернативные оптимальные угловые точки В и С. (Наличие альтернативных оптимумов свидетельствует о том, что одно и то же оптимальное значение z может достигаться при различных значениях переменных.
Как только наклон прямой z выйдет за пределы указанного выше интервала, получим некоторое новое оптимальное решение (точка В или точка D).

Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим, каким образом можно найти допустимый интервал изменения cE, при котором точка С остается оптимальной. Исходное значение коэффициента cI=2 оставим неизменным. Из рис. 8 видно, что значение cE можно увеличивать до тех пор, пока прямая z не совпадет с прямой (2), или уменьшать, пока прямая z не совпадет с прямой (1). Эти крайние значения коэффициента cE можно определить из равенства наклонов прямой z и прямой (2) (максимальное значение cE) и равенства наклонов прямой z и прямой (1) (минимальное значение cE).
Так как тангенс угла наклона для прямой z равен cE/2,.а для прямых (1) и (2) соответственно 1/2 и 2/1, минимальное значение cE определяем из равенства

а максимальное значение cE находим из равенства

Интервал изменения cE, в котором точка С по-прежнему остается единственной оптимальной точкой, определяется неравенством 1