Потоки событий.

Для рассмотрения случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем определим понятие "поток событий".
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени (поток автобусов на данной остановке, поток отказов какой-то системы и т.п.) Поток событий будем изображать последовательностью точек на оси времени

Мы будем рассматривать потоки событий, обладающие свойствами: стационарность, отсутствие последействия, ординарность.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания n событий на интервале времени (t,t+ ) зависит от и не зависит от t. Это означает, что интенсивность потока событий не зависит от времени. Такие потоки событий часто встречаются на практике, об их стационарности строго можно говорить только на ограниченном интервале времени. Распространение этого участка до бесконечности - удобный прием.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся промежутков времени число событий попадающих в один из них не зависит от того, сколько событий попало в другой. Это означает, что события, образующие поток появляются независимо друг от друга, т.е. поток есть марковский процесс.
Поток событий называется ординарным, если вероятность осуществления на бесконечно малом отрезке времени t двух и более событий (i=2,3,... пренебрежимо малы по сравнению с вероятностью одного события

Поток событий называется простейшим, если он стационарен, однороден и не имеет последействия. Для такого потока вероятность появления на интервале

m событий определяется формулой Пуассона

-средняя интенсивность потока.

Для простейшего потока интервал t между соседними событиями имеет показательное распределение: . Если рассматривать бесконечно малый временной интервал, то с учетом ординарности пуассоновского потока
Поток событий называется рекуррентным или потоком "Пальма", если он стационарен, ординарен, а интервалы времени между событиями представляют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением.
Из определения следует:

Рекуррентный поток есть марковский процесс.
Простейший поток это частный случай рекуррентного при показательном распределении интервалов между событиями.
Важными для практики являются потоки Эрланга, которые образуются в результате просеивания простейших "потоков". Поток Эрланга n-ого порядка получается, если в исходном простейшем потоке сохранить каждое n-ое событие. На рис. показано образование потока Эрланга 4-го порядка.

Рис.10
Простейший поток, является потоком Эрланга первого порядка. Можно показать, что плотность вероятности между событиями в потоке Эрланга k-ого порядка

-средняя интенсивность порождающего потока, , .