Определение матричной игры.
Опр.: Множество
Образованное всеми упорядоченными параметрами (x, y) первый член которых и есть элемент из X, а второй член – элемент из Y называется
прямым
или
декартовым произведением
множеств X и Y.
Опр.: Система
, где X и Y – непустые множества, функция
называется
антагонистической игрой в нормальной форме.
Элементы
и
называются
стратегиями игроков
1 и 2 соответственно в игре
, элементы декартова произведения
(пары стратегий (x, y)) называются
ситуациями
, функция K(x, y) – функция выигрыша игрока 1. Выигрыш игрока 2 в ситуации (x, y) полагается равным [–K(x, y)]. Такая игра
называется игрой с нулевой суммой. В ней игроки одновременно и независимо выбирают стратегии
и
. После этого первый игрок получает выигрыш, равный K(x, y), а игрок 2 – [–K(x, y)].
Опр.: Антагонистические игры, в которых оба игрока имеют конечное множество стратегий, называются
матричными.
Так как игра конечна, то множество стратегий X и Y конечны. Пусть
Если игрок I выбрал стратегию
, а игрок II –
то
. Числа
образуют матрицу A размером
.
- соответствует выигрышу игрока I в ситуации
. Выигрыш второго игрока -
.
Матричные игры являются самыми простыми из класса антагонистических игр.
Пример: Игроки 1 и 2 выбирают целые числа i и j между 1 и n, при этом игрок 1 выигрывает величину |i – j|. Игра антагонистическая. Матрица выигрышей этой игры квадратная, размером
,
. При n = 4
