Упрощение игр.
Если платежная матрица игры не содержит седловой точки, то задача определения оптимальной смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому для игр с платежными матрицами большой размерности отыскание решения можно упростить, если уменьшить их размерность путем вычерчивания дублирующих изведомо невыгодных стратегий, а также замены некоторых групп чистых стратегий смешанными.
Опр.: Если в матрице
игры все элементы строки(столбца) равны соответствующим элементам другой строки(столбца), то соответствующие строкам(столбцам) стратегии называются
дублирующими.
Опр.: Если в матрице
игры все элементы некоторой строки определяют стратегию
игрока I не больше соответсвующих элементов другой строки, то стратегия
называется
заведомо невыгодной.
Опр.: Если в матрице
игры все элементы некоторого столбца, определяющие стратегию
игрока II не меньше соответствующих элементов другого столбца, то стратегия
называется
заведомо невыгодной.
Пример:
стратегия
дублирует стратегию
, поэтому любую из них можно вычеркнуть.
Если сравнить
и
, то можно заметить, что все элементы
не превышают соответствующих элементов
. Значит стратегия
для нас, желающих выиграть заведомо невыгодна. Вычеркивая
и
приведем матрицу к более простому виду.
Для второго игрока стратегия
заведомо невыгодна. Вычеркивая ее получим
Таким образом игра
сведена к игре
. Иногда удается упростить игру искусственным введением вместо чистых стратегий смешанных.
Пример:
Из матрицы видна “симметрия” элементов стратегий
и
,
и
, а также
и
. Если эти стратегии входят в решение, то только с одинаковыми вероятностями
,
и
. Возникает желание заранее объединить
и
в одну смешанную стратегию
состоящую наполовину из
и на половину из
. Аналогично можно попытаться поступить со стратегиями
и
объединив их в
куда они войдут с одинаковыми вероятностями
0.5
. Получим
Стратегии
и
дублирующие и одну из них можно вычеркнуть
Таким образом из матрицы
.
