Постановка и классификация задач математического программирования.

Когда говорят о задачах математического программирования, то имеют в виду задачи оптимизации, возникшие в последние четыре десятилетия в связи с попытками повысить эффективность промышленных транспортных, военных систем за счет улучшений в работе координирующих и управляющих органов.

Все эти задачи МП формально сводятся к одной общей постановке:
Найти значения переменных X1,...,Xn , доставляющие максимум (минимум) заданной скалярной функции z=f(X1,...,Xn)
при условиях Условия, о которых идет речь, ограничивают выбор значений X1,...,Xn и могут обладать самыми разнообразными свойствами, определяемыми видом функций В каждой из m строк здесь сохраняется какой-либо один знак (равенство, неравенство).

Множество точек удовлетворяющих системе ограничений есть область определения поставленной выше задачи. Целевая функция z достигает экстремального значения в одной или нескольких точках области которые предстоит найти.

Обычно вид функций z и известен, константы bi; заданы, величины m и n являются произвольными целыми. Специально оговариваются ограничения, выраженные в требованиях неотрицательности и целочисленности

Учитывая сказанное, можно дать краткую запись условий задачи математического программирования: В основу классификации таких задач положены особенности функций z или gi, встречающихся в конкретных исследованиях. Различают два основных класса задач-задачи линейного и нелинейного программирования

К первым относятся те, в которых и целевая функция z, и все функции линейны относительно переменных

Ко вторым-те, в которых присутствуют различного рода нелинейности.

В качестве примеров назовем лишь хорошо изученные и широко распространены задачи:

Решаемые средствами классической математики при условии, что среди ограничений нет неравенств, выполняется условие т < п, нет требований неотрицательности или целочисленности переменных, функции z и gi непрерывны и по крайней мере дважды дифференцируемы;
Имеющие линейные ограничения и целевую функцию, представляющую собой полином второй степени относительно
Имеющие целевую функцию, представленную в виде суммы произвольных функций отдельных переменных xj

Обладающие такими универсальными свойствами, как выпуклость z и что позволяет формировать и использовать условия существования решений независимо от конкретных форм задания z и

Приведенная классификация касается только задач, в которых все исходные параметры определены-детерминированный случай.
Рассмотрим несколько примеров задач, для решения которых используются методы линейного программирования.