Оптимизация решения в условиях неопределенности

Мы рассмотрели самый простой, полностью детерминированный случай, когда все условия операции a1,a2,... известны, и любой выбор решения x1,x2,... приводит к вполне определенному значению показателя эффективности W.

К сожалению, этот простейший случай не так уж часто встречается на практике. Гораздо более типичен случай, когда часть условий, при которых проводится операция, известны заранее, а некоторые из них содержат элемент неопределенности.
Например, успех операции может зависеть от метеорологических условий, которые заранее неизвестны, или от колебаний спроса и предложения, заранее трудно предвидимых, связанных с капризами моды, или поведением разумного противника, действия которого заранее неизвестны.

В подобных случаях эффективность операции зависит уже не от двух, а от трех категорий факторов:

Условия выполнения операции a1,a2,... , которые известны заранее и изменены быть не могут
Неизвестные, условия или факторы Y1,Y2,...
Элементы решения x1,x2,... , которые нам предстоит выбрать.

Пусть эффективность операции характеризуется некоторым показателем W, зависящим от всех трех групп факторов. W=W(a1,a2,...;Y1,Y2,...;x1,x2,...). Если бы условия Y1,Y2,... были известны, мы могли бы заранее подсчитать показатель W и выбрать такое решение x1,x2,..., при котором он достигает экстремума. Однако параметры Y1,Y2,... нам неизвестны, а значит, неизвестен и зависящий от них показатель эффективности W при любом решении.
В этом случае задача формулируется следующим образом:
При заданных условиях a1,a2,... с учетом неизвестных факторов Y1, Y2, ..., найти такие элементы решения х1, х2, ..., при которых по возможности показатель эффективности W достигает своего экстремального значения. Это-уже другая, не чисто математическая задача (недаром в ее формулировке сделана оговорка "по возможности"). Наличие неизвестных факторов Y1, Y2, ... переводит нашу задачу в другую категорию. Она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределенности.
Если условия выполнения операции неизвестны, то мы не можем успешно организовать ее решение, как мы это сделали бы, при большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого при определенной ситуации. Наша задача состоит в том, чтобы придать ему черты разумности.
Решение, принятое в условиях неопределенности, но на основе математических расчетов, будет все же лучше решения, выбранного наобум.
Недаром один из видных зарубежных специалистов - Т. Л. Саати в книге "Математические методы исследования операций" дает своему предмету следующее определение: "Исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами".

Задачи о выборе решения в условиях неопределенности встречаются нам в жизни на каждом шагу. Пусть, например, мы собрались ехать в отпуск, взяв с собой чемодан ограниченного объема, причем вес чемодана не должен превышать того, при котором мы можем носить его без посторонней помощи (условия a1,a2,...). Погода в районе путешествия заранее неизвестна (условия Y1,Y2,...). Спрашивается, какие предметы одежды (х1,х2,...) следует взять с собой?

Эту задачу мы, разумеется, решаем без всякого математического аппарата, хотя, по-видимому, не без опоры на какие-то численные данные (хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в районах путешествия в данное время года).
Однако, если нужно принять более серьезное и ответственное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков, или о выборе типа посадочного устройства для посадки на планету с неизвестными свойствами поверхности, или о выборе образца вооружения для борьбы с противником, характеристики которого заранее неизвестны), то выбору решения в обязательном порядке должны предшествовать математические расчеты, облегчающие этот выбор и сообщающие ему черты разумности.

Применяемые при этом методы существенно зависят от того, какова природа неизвестных факторов Y1, Y2, ... и какими ориентировочными сведениями о них мы располагаем.

Наиболее простым и благоприятным для расчетов является случаи, когда неизвестные факторы Y1, Y2, ... представляют собой случайные величины (или же случайные функции), для которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение.

Пусть, например, мы рассматриваем работу железнодорожной сортировочной станции, стремясь оптимизировать процесс обслуживания прибывающих на эту станцию грузовых поездов. Заранее неизвестны ни точные моменты прибытия поездов, ни количество вагонов в каждом поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Все эти характеристики представляют собой случайные величины, закон распределения каждой из которых (и их совокупности) может быть определен по имеющимся данным обычными методами математической статистики. В случае, когда неизвестные факторы, фигурирующие в операции - Y1, Y2, ... -являются обычными случайными величинами (или случайными функциями), распределение которых, хотя бы ориентировочно, известно, для оптимизации решения может быть применен один из двух приемов:

Искусственное сведение к детерминированной схеме
"Оптимизация в среднем".

Остановимся более подробно на каждом из этих приемов:
Первый прием сводится к тому, что неопределенная, вероятностная картина явления приближенно заменяется детерминированной.
Для этого все участвующие в задаче случайные факторы Y1,Y2,... приближенно заменяются не случайными (как правило, их математическими ожиданиями).
Этот прием применяется по преимуществу в грубых, ориентировочных расчетах, когда диапазон случайных изменений величин Y1,Y2,... сравнительно мал, т.е. они без большой натяжки могут рассматриваться как не случайные.
Заметим, что тот же прием замены случайных величин их математическими ожиданиями может успешно применяться и в случаях, когда величины Y1,Y2,... обладают большим разбросом, но показатель эффективности W зависит от них линейно (или почти линейно).

Bторой прием ("оптимизация в среднем"), более сложный, применяется, когда случайные величины Y1,Y2,... имеют большую дисперсию и замена каждой из них ее математическим ожиданием может привести к большим ошибкам.
Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть показатель эффективности W существенно зависит от случайных факторов (будем для простоты считать их случайными величинами) Y1,Y2,...; допустим, что нам известна, например, плотность вероятности f(y1,y2,...).
Предположим, что операция выполняется много раз, причем условия Y1,Y2,... меняются от раза к разу случайным образом. Какое решение х1,х2,... следует выбрать? Очевидно, то, при котором операция в среднем будет наиболее эффективна, т. е. математическое ожидание показателя эффективности W будет максимально. Таким образом, нужно выбирать такое решение х1,х2,... , при котором обращается в максимум математическое ожидание показателя эффективности:
Такую оптимизацию мы будем называть "оптимизацией в среднем".

А как же с элементом неопределенности? Конечно, в какой-то мере он сохраняется. Успешность каждой отдельной операции, осуществляемой при случайных, заранее неизвестных значениях Y1,Y2,..., может сильно отличаться от ожидаемой средней, как в большую, так и в меньшую сторону.
При многократном осуществлении операции эти различия, в среднем, сглаживаются; однако, нередко данный способ оптимизации решения, за неимением лучшего, применяется и тогда, когда операция осуществляется всего несколько раз или даже один раз. Тогда надо считаться с возможностью неприятных неожиданностей в каждом отдельном случае, однако "оптимизация в среднем" все же лучше, чем выбор решения без всяких обоснований.
Применяя этот прием к многочисленным (хотя бы и различным) операциям, мы в среднем выигрываем больше, чем если бы совсем не пользовались расчетом.

Для того, чтобы составить себе представление о том, чем мы рискуем в каждом отдельном случае, желательно, кроме математического ожидания показателя эффективности, оценивать также и его дисперсию (или среднее квадратическое отклонение).

Наиболее трудным для исследования является тот случай неопределенности, когда неизвестные факторы Y1,Y2,..., не могут быть изучены и описаны с помощью статистических методов: их законы распределения или не могут быть получены (соответствующие статистические данные отсутствуют), или, что ещё хуже, таких законов распределения вовсе не существует.
Это бывает, когда явление, о котором идёт речь, не обладает свойством статистической устойчивости. Рассмотрим пример. Предположим, что эффективность проектируемого вооружения сильно зависит от того, будет ли предполагаемый противник к моменту начала боевых действий располагать средствами защиты, и если да, то какими именно? Очевидно, нет никакой возможности подсчитать вероятности этих гипотез-самое большее, их можно назначить произвольно, что сильно повредит объективности исследования.

В подобных случаях, вместо произвольного и субъективного назначения вероятностей с дальнейшей "оптимизацией в среднем", рекомендуется рассмотреть весь диапазон возможных условий Y1,Y2,... и составить представление о том, какова эффективность операции в этом диапазоне и как на нее влияют неизвестные условия. При этом задача исследования операций приобретает новые методологические особенности.

Действительно, рассмотрим случай, когда эффективность операции W зависит, помимо заданных условий a1,a2,... и элементов решения х1,х2,... еще и от ряда неизвестных факторов Y1,Y2,... нестатистической природы, о которых никаких определенных сведений нет, а можно делать только предположения.
Зафиксируем мысленно параметры Y1,Y2,... придадим им вполне определенные значения Y1=y1,Y2=y2,..., и переведем тем самым в категорию заданных условий a1,a2,... Для этих условий мы в принципе можем решить задачу исследования операций и найти соответствующее оптимальное решение х1,х2,...
Его элементы, кроме заданных условий a1,a2,... очевидно, будут зависеть еще и от того, какие частные значения мы придали условиям Y1,Y2,...:
Такое решение, оптимальное для данной совокупности условий Y1,Y2,... (и только для нее), называется локально-оптимальным. Это решение, как правило, уже не оптимально для других значений Y1,Y2,... Совокупность локально-оптимальных решений для всего диапазона условий Y1,Y2,... дает нам представление о том, как мы должны были бы поступать, если бы неизвестные условия Y1,Y2,... были нам в точности известны.

Поэтому локально-оптимальное решение, на получение которого зачастую тратится много усилий, имеет в случае неопределенности сугубо ограниченную ценность. Совершенно очевидно, что в данном случае следует предпочесть не решение, строго оптимальное для каких-то определенных условий, а компромиссное решение, которое, не будучи, может быть, строго оптимальным ни для каких условий, оказывается приемлемым в целом диапазоне условий.

Рассмотрим теперь случай, возникающий в так называемых конфликтных ситуациях, когда неизвестные параметры Y1,Y2,... зависят не от объективных обстоятельств, а от активно противодействующего нам противника. Такие ситуации характерны для боевых действий, отчасти для спортивных соревнований, для конкурентной борьбы и т.д.

При выборе решении в подобных случаях может оказаться полезным математический аппарат так называемой теории игр-математической теории конфликтных ситуаций. Модели конфликтных ситуаций, изучаемые в теории игр, основаны на предположении, что мы имеем дело с разумным и дальновидным противником, всегда выбирающим свое поведение наихудшим для нас (и наилучшим для себя) способом.
Такая идеализация конфликтной ситуации в некоторых случаях может подсказать нам наименее рискованное, "перестраховочное" решение, которое необязательно принимать, но во всяком случае полезно иметь в виду.

Замечание:

При обосновании решения в условиях неопределенности
элемент неопределенности остается.

Поэтому неразумно предъявлять к точности таких решений слишком высокие требования. Вместо того, чтобы после скрупулезных расчетов однозначно указать одно-единственное оптимальное (в каком-то смысле) решение, лучше всегда выделить область приемлемых решений, которые оказываются несущественно хуже относительно оптимального, какой бы точкой зрения мы ни пользовались. В пределах этой области могут произвести свой окончательный выбор ответственные за него лица.