Детерменированый случай.

Рассмотрим задачу исследования операций в общей постановке, безотносительно к виду и цели операции.

Пусть имеется некоторая операция О, т. е. управляемое мероприятие, на исход которого мы можем в какой-то мере влиять, выбирая тем или другим способом зависящие от нас параметры. Эффективность операции характеризуется критерием или показателем эффективности W, и требуется найти его оптимум.
Предположим, что тем или иным способом построена математическая модель операции. Она позволяет вычислить показатель эффективности W при любом принятом решении и для любой совокупности условий при которых выполняется операция.

Рассмотрим сначала наиболее простой случай, когда все факторы, от которых зависит успех операции, делятся на две группы:

Этот случай, в котором факторы, влияющие на исход операции a1,a2,..., либо заранее известны, либо зависят от нас, мы будем называть детерминированным.

Заметим, что под "заданными условиями" операции могут пониматься не только обычные числа, но и функции, в частности - ограничения, наложенные на элементы решения. Элементы решения х1,х2,... также могут быть не только числами, но и функциями. Показатель эффективности W зависит от обеих групп факторов.
Так как математическая модель построена, будем считать, что эта зависимость нам известна, и для любых a1,a2,...; х1,х2,... мы можем найти величину показателя эффективности W.
Т.о. задачу исследования операций можно сформулировать следующим образом: При заданных условиях a1,a2,... найти такие элементы решения х1,х2,..., при которых показатель эффективности W достигает экстремума. Это типичная математическая задача, относящаяся к классу так называемых вариационных задач. Методы решения таких задач подробно разработаны в математике. Простейшие из этих методов - задачи на максимум и минимум.
Для нахождения экстремума функции нужно продифференцировать ее по аргументу (или аргументам, если их несколько), приравнять производные нулю и решить полученную систему уравнений.

Однако, этот простой метод в задачах исследования операций имеет ограниченное применение.
Причин этому несколько:

  • Когда аргументов х1,х2,... много (а это типично для задач исследования операций), совместное решение системы уравнений, полученных дифференцированием основной зависимости, оказывается не проще, а сложнее, чем непосредственный поиск экстремума.

  • В случае, когда на элементы решения х1,х2,..,. наложены ограничения (т. е., область их изменения ограничена), часто экстремум наблюдается не в точке, где производные обращаются в нуль, а на границе области возможных решений.
    Возникает специфическая для исследования операций математическая задача поиска экстремума при наличии ограничений, не укладывающаяся в схему классических вариационных методов.

  • Наконец, производных, о которых идет речь, может вовсе не существовать, например, если аргументы х1,х2,... изменяются не непрерывно, а дискретно, или же сама функция W имеет особенности.

    Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений не существует. Однако для случаев, когда функция и ограничения обладают определенными свойствами, современная математика предлагает ряд специальных методов.
    Например, если показатель эффективности W зависит от элементов решения х1,х2,... линейно и ограничения, наложенные на х1,х2,..., также имеют вид линейных равенств (или неравенств), максимум функции W находится с помощью метода линейного программирования.
    Если эти функции обладают другими свойствами (например, выпуклы или квадратичны), применяется аппарат "выпуклого" или "квадратичного" программирования, более сложный по сравнению с линейным программированием, но все же позволяющий найти решение.
    Если операция естественным образом расчленяется на ряд "шагов" или "этапов" (например, хозяйственных лет), а показатель эффективности W выражается в виде суммы показателей wi достигнутых на отдельных этапах. Для нахождения решения, обеспечивающего максимальную эффективность, может быть применен метод динамического программирования.
    Если операция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а управление, меняющееся со временем, представляет собой некоторую функцию x(t), то для нахождения оптимального управления может оказаться полезным специально разработанный метод Л. С. Понтрягина.

    Таким образом, в рассматриваемом детерминированном случае задача отыскания оптимального решения сводится к математической задаче отыскания экстремума функции W; эта задача может быть весьма сложной (особенно при многих аргументах), но является вычислительной задачей, которую можно решить с помощью численных методов.

    Замечание:

    Термин "программирование" (от английского programming - составление плана или программы действий) стоит понимать здесь именно в смысле "поиск наилучших планов" (в отличие от английского толкования, которое принято специалистами по программному обеспечению ЭВМ).
    Hosted by uCoz