Способы свертки критериев.

Постановка задачи

Рассмотрим операцию, которая описывается с помощью векторного критерия эффективности. Можно сказать, что некоторая операция О состоит из ряда более мелких операций O1, О2, .., On, каждая из которых имеет свой единственный критерий эффективности - соответственно

Для исследования операции О необходимо выбрать некоторую схему компромисса, которая позволила бы в процессе поиска оптимального решения иметь дело с некоторым единственным критерием эффективности.
Процесс введения единого критерия эффективности, который в дальнейшем будем называть обобщенным и обозначать

можно представить как некоторое объединение n операций. Обобщенный критерий эффективности операции О получается как функция частных критериев эффективности, т. е. Такую процедуру получения критерия объединенной операции называют сверткой векторного критерия эффективности.

Способы свертки

Рассмотрим ряд элементарных способов свертки, предполагая, что все частные критерии, а также и

необходимо обратить в максимум.

Суммирование, или "экономический" способ свертки. Сущность этого способа состоит в том, что максимизируется критерий объединенной операции О, получающийся в результате суммирования всех частных критериев:

{2}
Здесь параметры,

могут иметь самый различный смысл: определяют относительную важность каждого из частных критериев и обладают свойствами (1); могут быть нормирующими множителями, если частные критерии эффективности имеют различный масштаб измерения, и т. п.

Этот способ свертки обычно применяется, если все частные критерии количественные. Если же некоторые критерии являются качественными и необходимо, чтобы соответствующие им цели обязательно достигались, то достаточно положить соответствующий критерий в случае неуспеха и в случае успеха при До тех пор пока не будет достигнута цель, соответствующая данному локальному критерию, независимо от значений остальных критериев.
При данном способе свертки критериев могут возникать трудности, связанные с обоснованным выбором параметров Необходимо отметить, что данному способу свертки соответствует принцип компромисса, который называется принципом справедливой абсолютной уступки.

Пример 1.

Производственное объединение состоит из п однотипных предприятии. Деятельность каждого предприятия характеризуется величиной прибыли Деятельность объединения характеризуется величиной суммарной прибыли

здесь обобщенный критерий получен в соответствии со способом свертки (2) при

Способ свертки, основанный на представлении обобщенного критерия в виде качественного путем разбиения компонентов вектора

на удовлетворительные и неудовлетворительные.
Для этого введем в рассмотрение вектор

компоненты которого определяют необходимые уровни достижения частных критериев. При этом

запишется следующим образом:

{3}
Трудность этого способа свертки состоит в объективности и обоснованности задания вектора

если он неизвестен.

Пример 2.

Деятельность промышленного предприятия оценивается векторным критерием эффективности, компоненты которого определяют следующее:

W1 - количество выпускаемой продукции;
W2 - уровень реализации продукции;
W3 - уровень производительности труда.

Следовательно,

Как правило, по каждому из названных показателей предприятию доводится план, характеризуемый вектором

В этом случае деятельность предприятия .может быть признана успешной, если выполнен план по всем показателям, т. е.

что соответствует правилу (3).

Способ свертки, основанный на последовательном достижении частных целей
При этом способе свертки каждая последующая операция учитывается лишь тогда, когда достигнуты абсолютные максимумы критериев предыдущих операций. Если все

то обобщенный критерий эффективности может быть записан следующим образом:

{4}
Здесь j удовлетворяет условиям:

при

;

Для реализации этого способа свертки требуется задание ряда приоритета, характеризующего порядок выбора локальных критериев для оптимизации. Этот способ применяется, если все критерии эффективности, за исключением, может быть, последнего, являются количественными.

Пример 3.

Деятельность промышленного предприятия в промежутке времени [О, Т] может характеризоваться объемом выпускаемой продукции в некоторые дискретные моменты времени

(эти моменты могут обозначать декаду, месяц и т. д.).
Объем выпускаемой продукции к моменту tj обозначим через

Тогда деятельность предприятия за период времени [0, T] характеризуется вектором

Планирование деятельности предприятия на каждый последующий период, как правило, проводится с учетом достигнутого значения уровня производства, а также с учетом изменений в обстановке функционирования предприятия (изменение номенклатуры выпускаемой продукции, технического оснащения, сырьевой базы и т. д.)
А это значит, что сначала оптимизируется W1 затем W2 с учетом достигнутого значения W1 и т. д.

Логическое свертывание критериев При этом способе предполагается, что все частные критерии являются качественными, т. е. принимают значения 0 или 1. Тогда обобщенные критерии можно получить следующими способами:

1) Введением противоположной цели, которая приводит к невыполнению j-й цели, т. е.
{5}
2) способом логического умножения, когда обобщенная цель объединенной операции состоит в достижении целей всех частных операций, т.е.
{6}
3) способом логического сложения, когда обобщенная цель объединенной операции состоит в достижении цели хотя бы одной частной операции, т. е.
{7}

Пример 4.

Некоторое техническое устройство состоит из п различных последовательно соединенных узлов (блоков), каждый из которых может находиться в одном из двух состояний: Wj=1 - рабочее; Wj=0 - нерабочее.
Устройство находится в рабочем состоянии, если в этом состоянии находятся все блоки. При проведении системы мероприятий по обеспечению работоспособности устройства, т. е. мероприятий, направленных на обеспечение работоспособности каждого из узлов,

будет соответствовать выражению (6).

Обобщённое логическое свертывание
Этот способ свертки является обобщением предыдущего способа, позволяющим проводить объединение как качественных, так и количественных целей:

1) вместо формулы (6)

{8} 2) вместо соотношения (7)
{9}
Нетрудно заметить, что выражение (8) немедленно превращается в (6), а (9) - в (7), если все принимают значения 0 или 1, а все

Пример 5.

Рассмотрим предыдущий пример с той лишь разницей, что каждый локальный критерии Wj=tj характеризует время безотказной работы j-го блока.
Тогда при проведении мероприятий по максимизации времени работоспособности всего устройства обобщенный критерий эффективности может быть записан следующим образом:

что соответствует выражению (8) при

Случайное и неопределенное свертывание.
Известно, что значение каждого критерия эффективности зависит от неконтролируемых факторов. Обобщенным критерием эффективности может быть объявлен любой из частных критериев в зависимости от состояния неконтролируемого фактора j, т. е.

В заключение отметим, что если имеется некоторый обобщенный критерий эффективности

то он может быть получен как комбинация рассмотренных способов свертки.