Моделирование случайных величин
Метод численного моделирования (Метод Монте-Карло)
В предыдущем разделе мы научились строить аналитические модели со стохастической неопределенностью. Однако их удается построить при условии, что процесс явля-ется марковским. Это предположение не всегда выполняется, а также является исключе-нием. В случае, если аналитические методы неприменимы , приходится использовать ме-тод статистического моделирования или метод Монте-Карло.
Определение: Методом Монте-Карло называется численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин
Необходимо отметить, что М М.-К. используется для решения любых математических задач, а не только задач вероятностного происхождения.
Название “Монте-Карло” произошло от города “Монте-Карло”, известного своими казино, т.к. простейшим прибором для генерирования случайных чисел служит игральная рулетка.
Возникновение метода М-К связывают с именами Дж. Неймана, С. Улама, Н. Метрополиса, Г. Кана и Э. Ферми, которые в 40-х годах работали в Лос-Аласмосе. Развитию метода М-К способствовало бурное развитие ЭВМ.
Построение алгоритмов Метода Монте-Карло основано на сведении задач к расчету математических ожиданий. Это означает, что для вычисления скалярной величины
нужно придумать случайную величину
, для которой
Тогда вычислив N независимых значений
можно найти, что
Пример: Требуется оценить объем
некоторой ограниченной пространственной фигуры G.
Возьмем параллелепипед П, содержащий G. Объем П известен.
Возьмем N крайних точек, равномерно распределенных в П и обозначим через
количество точек попавших в G. При большом N
откуда найдем
В этом примере
а средне арифметическое
При решении задач методом М-К нужно:
- удобно выбрать СВ для решения конкретной задачи
- научиться находить значение
произвольной СВ .
Решение второй проблемы связано с получением значений некоторой стандартнoй СВ имеющeй равномерное распределение в интервале (0,1).
Моделирование распределения равномерного в интервале (0,1).
Основные свойства случайной величины равномерно распределенной в интервале (0,1):
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Дисперсия
Иногда в качестве стандартной используют дискретную случайную величину x, ряд распределения который имеет вид
Будем называть
- случайным числом, а
- случайной цифрой.
Установим связь между
и
. Представим число
в виде бесконечной десятичной дроби
Можно доказать следующую теорему:
Десятичные цифры
случайного числа
представляют собой независимые случайные цифры. Обратно
независимые случайные цифры, то формула (1) определяет случайное число.
Замечание: В вычислениях всегда используем числа с конечным числом десятичных знаков, поэтому вместо случайных чисел g употребляем конечные случайные дроби.
Таблица случайных чисел. Предположим, что осуществлено N независимых опытов, в результате которых получено N случайных цифр
Записав эти цифры в порядке появления в таблицу получим таблицу случайных цифр.
При проведении расчетов можно использовать как сами цифры, так и конструировать из них случайные числа
Датчик случайных чисел: разработаны физические датчики случайных чисел. Для их построения используют шумящие радиоэлектронные приборы. Они применяются довольно редко, т. к. нет возможности повторно воспроизвести выборочную последовательность для повторения расчетов.
Псевдослучайные числа: пригодность случайных чисел определяется не процессом их получения, а тем что они обладают интересующими нас свойствами независимых равномерно распределенных случайных величин.
Опр.: Числа
которые вычисляются по какой либо заданной формуле и могут быть использованы вместо случайных чисел при решении задач численным методом, называются псевдослучайными числами.
Из сказанного следует, что оказываются тождественными те свойства случайных и псевдослучайных чисел, которые требуются для моделирования широкого круга задач. По отношению к этим задачам разница между физически генерируемыми "случайными" и псевдослучайным числами практически отсутствует.
К преимуществам псевдослучайных чисел можно отнести:
- небольшие затраты машинного времени для их получения;
- возможность повторных воспроизведений последовательности чисел;
- необходимость однократного тестирования алгоритмов вычисления псевдослучайных чисел.
Из последнего утверждения следует, что разрабатываемые датчики случайных чисел должны подвергаться проверке с помощью специальных тестов, которые должны содержать:
- независимость случайных чисел;
- равномерность их распределения.
Важной характеристикой последовательности
является их периодичность.
Это означает, что имеется некоторое большое число L, начиная с которого случайные числа начинают повторяться. Очевидно, что использование при моделировании "большого" отрезка последовательности
приводит к бессмысленному повторению испытаний в одних и тех же условиях.
В настоящее время существует достаточно много датчиков случайных чисел с хорошими характеристиками.
Наибольшее распространение получил алгоритм Д. Леммера, который называют методом вычетов. Последовательность случайных чисел рассчитывается по следующей формуле
где - целые числа и M взаимно просто с g(наибольший общий делитель для M и g равен 1).
Удовлетворительная последовательность псевдослучайных чисел получается, например, при
Период такой последовательности равен
.
Моделирование дискретных случайных величин
Рассмотрим дискретную случайную величину X с распределением
где
. Для того, чтобы моделировать эту величину разделим интервал [0,1] на интервалы
такие, что длина
равна вероятности
. Можно доказать следующую теорему.
Теорема: Случайная величина X, определенная выражением
имеет распределение вероятностей (1)
Cхема моделирования: разыгрываем случаем число
и определяем номер интервала
, в который оно попало. В результате получим соответствующее значение случайной величины
.
Моделирование событий
Пусть имеется полная группа несовместных событий с вероятностями
(
)
. Разделим интервал [0, 1] на n участников длиной
, которые равны вероятности
. В результате получаем рассмотренную выше схему дискретной случайной величины.
Замечание: Если имеем одно случайное событие A с P(A) = p, то до полной группы событий его дополняет
с вероятностью
.
Моделирование непрерывной случайной величины
Имеется случайная непрерывная величина X с точностью вероятности f(x) (функция распределения вероятностей F(x))
Моделирование непрерывной случайной величины
Случайная величина x удовлетворяющая уравнению
имеет плотность вероятности f(x). Таким образом розыгрыш значения непрерывной случайной величины X с заданной функцией распределения F(x) сводится к следующей процедуре: Нужно получить случайное число
в качестве значения x взять
. Здесь
обозначаем обратную функцию по отношению к F.
Пример: Моделирование случайной величины X с экспоненциальной плотностью вероятности
.
решая относительно x
, т.к.
- случайные величины в интервале (0, 1), то
тоже случайная величина в интервале (0, 1).
Моделирование пуассоновской случайной величины
- вероятность числа событий на интервале времени
. Поток простейший , интервалы
между соседними событиями имеют экспоненциальную плотность вероятности
.
Моделирование: Моделируем значения случайной величины
и последовательно до тех пор пока не выйдем за пределы отрезка
. Число точек на интервале
и есть значение случайной величины N.
Моделирование гауссовской случайной величины
Плотность вероятности
Определим функцию Лапласса
Используя метод обратных функций можно показать, что значение случайной величины X рассчитывается по формуле
Однако этот алгоритм не используют из-за его большой трудоемкости.
Обычно применяют следующий алгоритм, определяющий сразу два значения гауссовской случайной величины
где
- координаты изотропного вектора
на плоскости. Это означает, что точка
распределение равномерно на окружности
.
Моделирование
1)
;
2) если
, то повторяем 1) и т.д. иначе
.
Моделирование n – мерной случайной величины
Имеются непрерывные случайные величины
с совместной плотностью вероятности
Сначала разыгрывают значение
, это значение берется в качестве аргумента условной плотности вероятности
, разыгрывается значение x случайной величины
;
берутся в качестве значений условной плотности вероятности
и т. д.
Одним из предположений метода М-К является исследование многоканальных СМО с очередью. Протекающий в ней процесс явно немарковский – промежутки между заявками имеют непоказательное распределение, время обслуживания –тоже. Каналы могут выходить из строя – время их безотказной работы и время ремонта непоказательное. Требуется найти характеристики СМО – вероятности состояний, среднюю длину очереди, характеристики выходного потока и т.п.
Эффективным методом решения такой задачи является и метод М-К. Большое внимание нужно уделять точностным характеристикам полученных результатов.
