Чем удачнее подобрана математическая модель, тем лучше она отражает характерные черты явления, тем успешнее будет исследование и полезнее вытекающие из него рекомендации.
Общих способов построения математических моделей не существует.
В каждом конкретном случае модель строится, исходя из целевой направленности операции и задачи научного исследования, с учетом требуемой точности решения задачи, а также точности, с какой могут быть известны исходные данные.
Требования к модели противоречивы.
С одной стороны, она должна быть достаточно полной, т.е. в ней должны быть учтены все важные факторы, от которых существенно зависит исход операции.
С другой стороны, модель должна быть достаточно простой для того, чтобы можно было установить обозримые (желательно - аналитические) зависимости между входящими в нее параметрами.
Модель не должна быть "засорена" множеством мелких, второстепенных факторов-их учет усложняет математический анализ и делает результаты исследования трудно обозримыми.
Одним словом, искусство составлять математические модели есть именно искусство, и опыт в этом деле приобретается постепенно. Две опасности всегда подстерегают составителя модели:
Первая-утонуть в подробностях ("из-за деревьев не увидеть леса")
Вторая-слишком огрубить явление ("выплеснуть из ванны вместе с водой и ребенка")
В сложных случаях, когда построение модели вызывает наибольшее сомнение, полезным оказывается набор моделей, когда одно и то же явление исследуется на нескольких моделях. Если научные выводы и рекомендации от модели к модели меняются мало, это-серьезный аргумент в пользу объективности исследования.
Характерным для сложных задач исследования операций является также повторное обращение к модели: после того, как первый цикл исследований выполнен, возвращаются снова к модели и вносят в нее необходимые коррективы.
На рис. 1 схематически изображены уровни абстракции соответствующие переходу от системы-оригинала к ее модели.
Рассмотрим пример, поясняющий различие уровня абстракции.
Процесс создания конечного продукта материального производства обычно состоит из нескольких этапов, которые можно представить в определенной хронологической последовательности-от замысла проектировщика (конструктора) до поставки потребителю.
После утверждения соответствующей проектно-технологической документации в производственный отдел предприятия направляется наряд-заказ на изготовление данной продукции. В свою очередь производственный отдел направляет в отдел материально-технического снабжения заявки на необходимое сырье и материалы.
Отдел материально-технического снабжения либо удовлетворяет эти требования поставками нужного сырья и материалов со складов, либо ставит перед отделом закупок вопрос об организации снабжения нужными материалами со стороны. После того как продукция изготовлена она поступает в отдел сбыта, который занимается продажей и доставкой готовой продукции потребителям.
Предположим, что задача исследования состоит в определении "наиболее выгодного" для предприятия-изготовителя объема производства данной продукции.
Рассматривая исследуемую производственную систему как единое целое, легко убедиться в том, что на объем производства может влиять большое число факторов.
Приведем несколько примеров таких факторов, группируя их по соответствующим подразделениям предприятия.
1. Производственный отдел.
Очевидно, что учет всех этих факторов в модели, предназначенной для определения оптимального объема производства, связан с трудностями из-за большого числа переменных-например, распределение времени использования оборудования и рабочей силы, продолжительность технического контроля, и ограничений - мощность оборудования, продолжительность рабочего времени, ограничение на объём готовой продукции.
Для формирования упрощенного абстрактного образа системы-оригинала cледует рассматривать систему как единый объект, а не заниматься с самого начала частными деталями анализируемой проблемы.
Систему следует рассматривать как единое целое с точки зрения изготовителя и потребителя. В первом случае систему можно характеризовать ее производительностью, а во втором - объемом реализации продукции.
Естественно, что эти переменные зависят от всех факторов, перечисленных выше. По сущёству, достигнутые упрощения, связаны с "объединением" нескольких первичных факторов в один.
Дальнейшие рассуждения проще проводить, используя упрощенный образ системы.
Правил, определяющих переход от реальной системы к модели (рис. 1), не существует. Сведение множества факторов, управляющих поведением системы, к относительно небольшому количеству доминирующих факторов и переход от упрощенного образа системы-оригинала к модели - в большей мере искусство, чем наука.
Степень адекватности построенной модели реальной системы зависит прежде всего от творческих способностей и интуиции членов исследовательской группы.
Ясно, что проявление этих чисто индивидуальных качеств нельзя отразить в рамках формализованных правил построения моделей.
Построение математической модели-наиболее важная и ответственная часть исследования, требующая глубоких знаний не только и не столько в математике, сколько в существе моделируемых явлений. Часто, один раз созданная удачная модель может находить применение и далеко за пределами того круга явлений, для которого она первоначально создавалась.
Математические модели, первоначально предназначенные для описания динамики развития биологических популяций, находят широкое применение при описании боевых действий и наоборот - боевые модели с успехом применяются в биологии.
Математические модели можно классифицировать следующим образом:
В основе построения аналитических моделей лежит допущение о том, что все переменные, параметры и ограничения, а также целевая функция количественно измеримы.
Поэтому если xj , j=1,2,...,n, представляют собой n управляемых переменных и условия функционирования исследуемой системы характеризуются m ограничениями, то
математическая модель может быть записана в следующем виде:
Ограничения x1,x2,...,xn называются условиями неотрицательности.
Эти условия требуют, чтобы переменные принимали только положительное или нулевое значение.
В большинстве практических случаев такое требование вполне естественно. Нахождение оптимума осуществляется для определения наилучшего значения целевой функции, например максимума прибыли или минимума затрат.
В операциях же большого масштаба, когда переплетается действие огромного количества факторов, в том числе и случайных, на первый план выходит метод статистического моделирования. Он состоит в том, что процесс развития операции как бы "копируется" на вычислительной машине, со всеми сопровождающими его случайностями.
Всякий раз, когда в ход операции вмешивается какой-либо случайный фактор, его влияние учитывается посредством "розыгрыша", напоминающего бросание жребия. В результате многократного повторения такой процедуры удается получить интересующие нас характеристики исхода операции с любой степенью точности.
Статистические модели имеют перед аналитическими то преимущество, что они позволяют учесть большее число факторов и не требуют грубых упрощений и допущений.
Результаты статистического моделирования труднее поддаются анализу и осмыслению. Более грубые аналитические модели описывают явление лишь приближенно, зато результаты более наглядны и отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности.
Наилучшие результаты получаются при совместном применении аналитических и статистических моделей:
простая аналитическая модель позволяет вчерне разобраться в основных закономерностях явления, наметить главные его контуры, а любое дальнейшее уточнение может быть получено путем статистического моделирования.
Игровые модели дают возможность изучать конфликтные ситуации, в которых каждая из конфликтных сторон придерживается своих взглядов, старается получить информацию о намерениях противника и "возможно" извлечь выгоду из его ошибок, действует с учетом складывающейся обстановки.
Простейший пример игровой модели; матрица, строкам которой поставлены в соответствие допустимые стратегии одной стороны, столбцам стратегии другой стороны, а их пересечению-оценки исхода игры при выбранных стратегиях.
Решением, связанным с выбранной математической моделью, называется конкретный набор значений управляемых параметров или фазовых переменных
Решение можно получить различным путем, с различной степенью точности при различных предположениях о свойствах неуправляемых (неконтролируемых) параметров. Независимо от этого оно должно рассматриваться лишь как вспомогательный материал, нуждающийся в последующем осмыслении.
Ни одна формальная модель не может дать исчерпывающих сведений о развитии реальных событий (практически всегда присутствуют неконтролируемые факторы), но получаемые с ее помощью решения позволяют оперирующей стороне ориентироваться в окружающей обстановке, вносить полезные уточнения в модель, анализировать различные стратегии, выявлять второстепенные факторы планируемой операции.
Независимо от того, какой конкретно выбран объект, схема поиска наилучшего решения имеет вид:
