Пример решения задачи о распределении ресурсов
Планируется деятельность двух отраслей производства I и II сроком на 5 лет (N=5). Заданы функции дохода
,
и траты
,
требуется распределить имеющиеся средства в размере Q=2 между отраслями исходя из условия максимума дохода. Будем следовать общей схеме:
П.1. В нашем случае система - две отрасли с вложенными в них средствами. Она характеризуется двумя параметрами X и Y, выражающими количество средств в I и II отраслях соответственно. Шаг процесса равен 1 году. В процессе управления величины X и Y меняются в зависимости от двух причин:
- перераспределение средств между отраслями в начале каждого года;
- уменьшение средств к концу каждого года.
Управление на i-ом шаге - количество средств
и
, вложенных в отрасли I и II на этом шаге. Нужно найти такое оптимальное управление, при котором суммарный доход
будет максимальным.
П.2. Состояние системы перед i-ым шагом характеризуется количеством средств Q, сохранившихся после предыдущих i-1 шагов. Управление на i-ом шаге будет состоять в выделении в отрасль I средств в объеме
,
. Выигрыш на i-ом шаге
.
П.3. Новое состояние системы перед i+1 шагом
.
П.4. Основное функциональное уравнение
.
Условным оптимальным управлением будет то, при котором достигается указанный максимум.
П.5. Условный оптимальный выигрыш на последнем 5-ом шаге равен
.
Выражение в скобках равно
- выигрыш на пятом шаге. Вид этой функции показан на рис.1 при
и на рис.2 при
. Найдем ее максимум при
:
.
Можно показать, что в этом случае,
. Суммируя полученные результаты, можно записать
 |
 |
| Рис. 1 |
Рис. 2 |
Это означает, что если мы подошли к последнему этапу с запасом средств не превышающим
, то их все нужно вложить во II отрасль. В противном случае в I отрасль нужно вложить
, а во II отрасль -
. Условный оптимальный выигрыш на последнем шаге будет равен
Зависимости
и
показаны на рис.3. Таким образом, оптимизация последнего шага закончена.
 |
| Рис. 3 |
П.6. Рассмотрим 4-ый шаг. Задачу условной оптимизации будем решать численно:
,
где условный полуоптимальный выигрыш равен
- выигрыш на 4-ом шаге. Выясним в каких пределах может находиться
, т.е.
и
. Значение
можно найти, считая, что на первых трех шагах все средства будут вложены в первую отрасль, в которой затраты минимальны. Тогда после трех лет получим
.
Величину
можно найти, если на первых трех шагах все средства вкладывать во вторую отрасль
,
т.е.
. Возьмем опорные значения
и для каждого из них найдем условнй оптимальное управление
и условный максимальный доход на двух последних шагах
.Для этого построим зависимости
от
для всех значений
(см. рис.4).
 |
 |
| Рис. 4 |
Рис. 5 |
При этом второе слагаемое определяется по рис. 3 для аргумента
. Координаты максимального значения каждой кривой представляют собой условный оптимальнный доход на двух последних щагах
и соответствующее оптималное управление
. С помощью полученных значений построим зависимости, показанные на рис.5.
Аналогично решается задача оптимизации третьего и второго шагов. Соответствующие зависимости показаны на рис. 6 - 9. Теперь остается оптимизировать первый шаг. Начальное состояние системы
и нужно построить зависимость
от
 |
 |
| Рис. 6 |
Рис. 7 |
 |
 |
| Рис. 8 |
Рис. 9 |
Второе слагаемое определяется по рис. 9 для аргумента
.
Определяя на единственной кривой (см. рис. 10) максимум, найдем окончательное (уже не условное) значение максимального дохода за весь период
и соответствующее оптимальное управление на первом шаге
.
 |
| Рис. 10 |
П.7. Найдем безусловные оптимальные управления по схеме
.
По рис.9 определяем
. Остаток средств после второго шага
.
По этому значению из рис.7 определим
и т.д. Полученные результаты сведены в таблице.
.
При этом остаток средств равен
. Вид оптимальной кривой в фазовом пространстве показан на рис.11 (каждый этап, кроме первого, разделен на полуэтапы).
 |
| Рис. 11 |
