Задача с мультипликативным критерием.

Иногда возникают задачи, в которых показатель эффективности операции представляет собой не сумму, а произведение

(10)
Где -выигрыш на i-ом шаге.
Такой критерий эффективности называется мультипликативным. Очевидно, что любая задача с мультипликативным критерием логарифмированием выражения (10) может быть сведена к задаче с аддитивным критерием.
Другой путь состоит в непосредственном построении процедуры динамического программирования для мультипликативного критерия.
Основное функциональное уравнение (5)

для этого случая будет иметь вид

(11)
а условие оптимальности последнего шага выражение (6) сохранится в том же виде, как при аддитивном критерии.

Пример.

Распределение средств для повышения надежности технического устройства.

Имеется некоторое техническое устройство, состоящее из N-узлов.
Безотказная работа каждого узла безусловно необходима для работы устройства в целом.

Элементы могут выходить из строя независимо один от другого. Вероятность или надежность безотказной работы равна В распоряжении имеется некоторые средства в размере K0, которые можно использовать для повышения надежностей элементов. Вложение Xi средств в i-ый элемент повышает его надежность до величины Функция f1-неубывающая.
Требуется оптимально распределить средства по элементам для достижения наибольшей надежности устройства.
Схема решения задачи будет такой же как в случае аддитивного критерия. Основное функциональное уравнение имеет вид -условный оптимальный выигрыш или максимальная надежность устройства составленного из элементов i,..,N
Q-остаток средств на повышение надежности этих элементов.
Условное оптимальное управление на i-ом шаге (модернизация i-го элемента) будет

Условное оптимальное управление на последнем шаге ,т.е. все оставшиеся средства тратятся на N-ый элемент.
При этом достигается условный оптимальный выигрыш

После нахождения всех условных оптимальных управлений находится безусловное оптимальное управление .